A végtelen üzenete a gondolkodásunk határáról

Véges lény a matematikus is, de évszázadok óta foglalkozik a végtelennel. Az idők folyamán sok huzavona eredményeképpen kikristályosodott számos olyan fogalom, melyekkel már hatékonyan megválaszolhatunk sok, korábban ellentmondásosnak és érthetetlennek tűnő kérdést. (konvergencia, sorok összege, halmazok számossága, a különböző végtelen számosságok, stb…) Miután már ilyen sokat tudunk róla, ne felejtsük el a szellemi tanulságokat leszűrni. Vajon mit tolmácsol a matematika végtelen fogalma a szellemi valóságról? A matematika fogalmai mutatnak-e egy magasabb valóságra és tanítanak-e minket annak helyes keresésére?
A köznapi beszédben a végtelent olyan értelemben használjuk, hogy “nagyon sok,” “nagyon nagy.” (XY végtelenül ostoba, Z előtt végtelen lehetőségek állnak.) (Megjegyzem, hibás a “végtelen nagyság” kifejezés, mert azt sugallja, hogy egyazon mértéke van minden végtelen nagyságú dolognak, pedig dehogy. Olyan sokféle végtelen számosság van, hogy a legtöbben ezek mértékét fel sem foghatjuk.) Tehát a megértésünkben a azt jelenti: elképesztően nagy. Csakhogy a “nagyon nagy” és a “végtelen” nagyon különböző tulajdonságú.
Tekintsünk 3 példát a “nagyon nagy” és a “végtelen” különbözőségeiről a matematika köréből. (Megjegyzem, hitem szerint Isten sok szempontból végtelen, de nem a matematikai végtelen, hanem afölött álló, önmagát személyként bemutató lény. Mégis, a matematikai végtelen kapcsán leszűrt tanulság hatványozottan igaz lesz az isten-keresésre.) Ha valaki kihagyná a matekos részt, (amit persze sajnálnék,) az görgessen lejjebb a vonalig.
Egy sor összege
Egy nagyon sok tagú, ám véges összeg átzárójelezhető. Tehát (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1. És ezen nem változtatna az sem, ha közben milliárd szám áll mindkét oldalon. De ha azt mondom, hogy folytassuk az eljárást mindkét oldalon minden határon túl, azaz 1-1+1-1+1-1+1-1+… összeget szeretném kiszámolni, akkor bajban lennék az átzárójelezéssel. Ugyanis ha a baloldalit tekintem, (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+… akkor a nullát adom össze végtelenszer, így 0-t kapok, míg ha a jobboldalit folytatom minden határon túl, akor az 1-hez adok nullákat, tehát 1-et kapok eredményül. Baj van ezzel, és ezen balhéztak már a középkorban is néhány száz éven keresztül, mire kialakult a konverencia precíz fogalma és a kérdés megoldódott. (Ez a sor nem konvergens, de Cesaro összege 1/2.) Számunkra most elegendő annyit leszűrni, hogy ami működik a nagyon nagy esetén, az nem feltétlenül működik a végtelen esetén, hiszen más tulajdonságok lehetnek érvényesek a végtelenben.
Hilbert szállodája
Hilbert szállodája egy képzeletbeli szálloda, végtelen sok szobával (pontosabban szólva: legyen annyi szoba, ahány természetes szám, hiszen az ajtókon számok csüngenek.) Kezdjük a klasszikus feladattal, de számunkra a hármas számú lesz nagyon tanulságos.
1) Első éjszaka minden szoba foglalt. Ekkor érkezik még egy utazó. El tudjuk-e szállásolni?
Igen, habár minden szoba foglalt volt, el tudjuk szállásolni az újonnan érkezőt: mindenkit eggyel magasabb számú szobába költöztetünk, így felszabadítva az 1. számú szobát.
2) Második éjszaka minden szoba foglalt és minden szobában ketten vannak. Viszont egyedül szeretének lenni. Megoldható-e?
Igen, megoldható: Költztessünk minden k.-ik szobából egy embert a 2k.-ikba, a másikat pedig a (2k-1).-be. Így minden szobában egyedül lesznek és mindenkinek van szobája.
Ennek a feladatnak egy másik változata:
2′) Második éjszaka minden szoba foglalt és ekkor végtelen sok új vendég érkezik. Megoldható-e?
Egyébként most azt modelleztük, hogy két megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz uniója is megszámlálhatóan végtelen. Azaz
Jöjjön előbb a bemelegítő a fontos harmadik feladathoz:
3′) Harmadik éjszaka csak éjfél előtt lehet beköltözni, ha van szabad és tiszta szoba. A takarítónő rendes és most minden szoba tiszta.
- Érkezik egy utazó 12:00 előtt 1/2 perccel. Elhelyezzük az 1. szobában.
- Megjön a 2. utazó 12:00 előtt 1/4 perccel. Övé lesz a 2. szoba.
- …
- Majd megérkezik az n. utazó 12 előtt 1/2n perccel. Őt az n. szobában szállásoljuk el.
- Így tovább folytatódk a játék a végtelenségig…
- Elérkezik az éjfél. Hány szabad szoba lesz 12:00-kor?
Válasz: 0. Hiszen szépen sorban elfoglalják az 1,2,3,… szobákat, azaz mindegyiket.
Megjegyzés: Ez így világos, hiszen az elérhető szobák száma csökkent. Na, de most jön a meglepetés…
3) Harmadik éjszaka csak éjfél előtt lehet beköltözni, ha van szabad és tiszta szoba. A takarítónő most nem siette el a dolgokat és így
- éjjeli 12:00 előtt 1 perccel tiszta lesz az 1-5 szoba.
- 12:00 előtt 1/2 perccel tiszta lesz a 6-10 szoba.
- 12:00 előtt 1/4 perccel tiszta lesz a 11-15 szoba.
- 12:00 előtt 1/2n perccel tiszták lesznek a (2n+1).-től a 2(n+1).-ig terjedő szobák.
- …
- Közben érkezik az első utazó 12:00 előtt 1 perccel. Elhelyezzük az 1. szobában.
- Megjön a 2. utazó 12 :00 előtt 1/2 perccel. Irány a 2. szoba.
- …
- Hány szabad szoba lesz 12:00-kor?
Válasz: 0. A szobák mind elfogynak, pedig az elérhető szobák száma egyre csak növekszik! A nagy n -ek esetén egyre csak gyarapodnak a szobáink, de amint n tart a végtelenbe, elfogynak. Kérem, álljon mg, és gondolja át, ez nagyon meglepő.
Végtelen számosságok paradox, furcsa keveredése
A racionális és irracionális számok sűrűsége igen meglepő. Ezt most nem részletezném, de megemlítem, hogy racionális szám is annyi van, amennyi természetes szám, azaz megszámlálhatóan végetelen. Irracionális számból viszont sokkal több van, kontinuum számosságú az irracionális számok halmaza.
Most jön a bökkenő. Matematika szakosok és okos gimnazisták számára könnyű belátni, ám mivel e blog terjedelmeit meghaladná, ezért csak tényként közlöm:
- Minden két irracionális szám között van racionális szám.
- Minden két racionális szám között van irracionális szám.
Hmmm… ezekből a józan paraszti ésszel arra következtetnénk, hogy ugyanannyian vannak. Pedig nem ugyanannyian vannak: irracionálisból kontinuum sok van, jóval több, mint racionálisból, ami csak megszámlálhatóan vételen sok van. Hát igen, a mindennapi tapasztalat csak gyenge mutatója annak, hogy mi a valós szám. Gyengén tükrözi, hogy mi történik végtelen számosságok esetén.
Tanulság
A végtelen tulajdonságai nagyban különböznek attól, amit a véges tapasztalataink alapján gondolunk. Tehát körültekintésre, alázatra van szükség, amikor kiterjesztjük a véges tapasztalatainkat a végtelenre, és ez alapján a végtelenről állítunk valamit.
Óvatosságra van tehát szükség, amikor Istenről, a legfelsőbb végtelenről állítunk valamit. A fentiek alapján nem ésszerű dolog pusztán a materiális tapasztalatainkra hagyatkoznunk az Isten keresésében és megismerésében. Van létjogosultsága megvizsgálni, hogy megjelent-e az emberi történlemben és mit mondott magáról? Világunk tele van azzal a sprituális szeméttel, ami pusztán az ember spekulációja Istenről.
Mázlisták vagyunk, mert nemcsak adatott egy ihletett irat-gyűjteményünk, (Bibliánk,) de Isten emberi testben meg is látogatott minket itt a Földön, (Jézus személyében,) ezzel kínálva egyedülálló megoldást a legnagyobb emberi problémára.
Beszél Isten végtelenségéről a Biblia? “De vajon lakhatik-e Isten a földön? Hiszen az ég, sőt az egeknek egei sem fogadhatnak magukba téged, hát még ez a ház, amelyet én építettem!” 1Kir 8:27
“A Szentháromság misztériumába nem annyira gondolkodás és képzelet által juthatunk be, mint a szeretet által. A gondolkodás és a képzelet hamar eléri azt a határt, melyet átlépni képtelen… De a szeretet minden határon túlvisz és … megközelíthetjük őt, akit intellektusunk képtelen meglátni.”(Thomas Merton)
Források:
- Matematika szakkönyvek
- James Bradley, Russell Howell: Mathematics through the eyes of faith, 2011.
- http://plato.stanford.edu/entries/cusanus/
Ui – Megjegyzés 1: Már a 15. században felvetette a problémát Nicolaus Cusanus, aki Isten és a végtelen között közeli kapcsolatot látott, és ezért arra következtetett, hogy komoly korlátai vannak az Isten megértésének. Abban az időben még a matematikusok is balhéztak a végtelen fogalmával, hiszen a konvergencia és határérték fogalmakat megelőzte több, mint 400 évvel. Ám ma, amikor már nagyon sokat tudunk róla, ma is igaz, hogy a nagyon nagy és a végtelen nem feltétlenül azonos tulajdonságú.
Ui – Megjegyzés 2: Meg tudjuk-e érteni a végtelent véges eszközökkel? A matematika végtelen fogalmát egyértelműen definiálhatjuk (értelmezhetjük) véges fogalmakkal, kevéssel ráadásul. (Az első út Dedekind definíciója: Egy halmazt nevezzünk végtelennek, ha azonos elemszámú egy valódi részhalmazával. (A és B azonos elemszámú = létezik egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés A és B elemei között.) Másik út a halmaz végtelen számosságának definíciójára, hogy definiáljuk a véges halmaz fogalmát. Egy halmaz véges, ha létezik olyan n természetes szám, hogy a szóban forgó halmaz azonos elemszámú az {1,2,…,n} halmazzal. Aztán következik a végtelen halmaz definíciója: egy halmaz végtelen számosságú, ha nem véges.) Ez is megérne egy misét.
Great, thanks for sharing this blog.Thanks Again.