Hitkérdések

“Az orrom éppen növekszik.”- mondja Pinocchio, az a mesehős, akinek orra büntetésképpen minden hazugság során megnő. Akkor és csak akkor, a hazugság kimondásával egy időben nő. Tegyük fel, hogy (az A esetben) mesehősünk igazat mondott, amiért nem jár orrnövekvés. De akkor állítása alapján orra növekszik, így nem mondhatott igazat, ellentmondás. Maradt az (a B esetben,) hogy hazudott, amiért megnőtt az orra, de hát akkor igaz, amit mondott, tehát nem hazudott. Mindkét eset ellentmondásra vezetett. Erről az állításról tehát nem dönthető el, hogy igaz vagy hamis. A probléma lényege az önhivatkozó feltétel: Pinocchio orra ezen furcsa állítása nyomán pontosan akkor nő, ha nem nő.

Vajon az önhivatkozó állítások elvezetnek-e minket mélyebb igazságokra? A paradoxonok megértése és felismerése segítségünkre van-e az igazság-keresésben?

Egy hadsereg borbélya, aki férfi, azt a parancsot kapta, hogy pontosan azokat az embereket borotválja, akik önmagukat nem borotválják. De a borbély ezt a parancsot kénytelen megszegni, mert a cselekvést végző személyre önhivatkozás történik. Gondoljuk meg, hogy mi történik abban az esetben, ha a borbély borotválja magát (A eset) és mi van, ha nem (B eset). Mindkét esetben kikerülhetetlen ellentmondásba ütközik, így szükségképpen megszegi a parancsot. (További önhivatkozásos paradoxonokért lásd az [1] Megjegyzést.)

Paradoxon alatt vagy csupán látszólagos ellentmondást, vagy pedig valóban egymásnak ellentmondó állítások találkozását értjük. A későbbi példákban paradoxont eredményező önhivatkozással találkozunk. A fentiek egy ókori görög paradoxon, az Epimenidész-paradoxon, vagy más néven hazugság-paradoxon változatai. Epimenidész Krétán élt, és volt egy halhatatlan mondata: “Minden krétai hazudik.” Vizsgáljuk meg rövidebb változatát: “hazudok“, illetve: “ez a mondat hamis.” Ezek a mondatok eldönthetetlen logikai állítások… Amennyiben feltesszük, hogy igaz, akkor arra következtetünk, hogy hamis. Hasonlóan, ha azt tételezzük fel, hogy hamis, akkor a mondat tagadása a helyes, azaz a mondat igaz. Mindkét eset ellentmondó, tehát valóban eldönthetetlen az állítások logikai értéke. (Megjelenik a Bibliában több helyen is: Zsolt 116:11, Tit.1:12, Róm.3:3-4.)

Axiómarendszerek, Gödel tétele

A matematika minden ága az adott terület axiómáin alapul. Például a különböző geometriákat sajátos axiómák rendszerével fogalmazzák meg. Az axiómák olyan állítások, melyek igazságát eleve feltételezik. Pl. a párhuzamossági axiómát (és egyebeket) feltéve jutunk az euklideszi geometriához, de ha egy másik axiómarendszer szerint egy egyeneshez egy pontból több párhuzamost is húzhatunk, egy másik geometria az eredmény. Ilyen például a Bolyai-féle geometria. Vajon megadható-e olyan rendszer, mely egyszerre következetes (ellentmondásmentes) és teljes (azaz minden állításról eldönthető benne, hogy igaz-e vagy hamis)?

Kurt Gödel osztrák matematikus és logista tétele alapján mindig megadhatunk egy olyan állítást, melyet az adott axiómarendszeren belül nem tudunk bizonyítani, és az axiómarendszert ezzel kibővítve is találunk olyan állítást. Egy axiómarendszer, ha elég összetett ahhoz, hogy a számelméletet is magába tudja foglalni, sohasem lehet teljes, azaz nem dönthető el bármely állítás igaz vagy hamis volta.

Ahhoz, hogy az adott állításnak az igazságát eldöntsük, az axiómarendszert ki kell bővítenünk. Azonban ebben az axiómarendszerben is megfogalmazható egy eldönthetetlen állítás. Gödel tételének bizonyítása egy önmagára hivatkozó matematikai kifejezés felírásán alapul, hasonlóan a hazugság-paradoxonhoz. Számelméleti eszközökkel kódolható a következő mondat: „ez a számelméleti állítás nem bizonyítható.” Ez a Gödel mondat bizonyíthatatlan, de igaz.

Alkalmazások

A. A tudomány bizonyítható határa: Egyetlen véges sok feltételen nyugvó rendszer sem lehet teljes. Vannak olyan állítások, amelyek igazak lehetnek, de nem tudjuk őket bizonyítani egy véges rendszeren belül. A tudomány rohamos fejlődésétől megittasulva azt várnánk, hogy minden egy jól megszabott matematikai rendszeren belül minden állításról eldönthetjük, hogy az igaz-e vagy hamis. Végtére is a matematika és a logika alapul szolgál a modern természettudományoknak. Ám a bizonyíthatóság az igazságnál gyengébb fogalom, függetlenül a használt axiómarendszertől. A matematika tehát tudja igazolni a tudomány ezen határát, a bizonyíthatatlan igazságok létjogosultságát… Véges állításokon nyugvó tudomány nem írhatja le a mindenséget. Erről ír az ateista fizikus Stephen Hawking is és a keresztény Jáki Szaniszló is. (7)(8)

B. „Tud-e Isten akkora követ alkotni, amelyet Ő maga sem bír felemelni?” Ez az ősi paradoxon is önhivatkozáson alapul. Az állítás nem Egy Mindenható Lény, azaz Isten létezését cáfolja, hanem inkább arról szól, hogy vannak logikailag eldönthetetlen állításaink. Isten képességére vonatkozó önhivatkozást találtunk e mondatban. Ha valaki ezzel akarja cáfolni Isten létét, akkor nyugodtan vágjunk vissza egy olyasmi kérdéssel, hogy: “Abbahagytad-e verni a feleségedet?” Hamar rájön, hogy nem lehet minden kérdésre kizárólag nemmel vagy igennel válaszolni. Vagy ami ezzel ekvivalens, nem fér bele minden állítás az igaz-hamis kategóriákba. (Előadásaimban ezt a kérdést egy olyan hallgatónak szoktam feltenni, akiről feltételezem, hogy ezzel nem hozom zavarba…)

Említsük meg, hogy ráadásul a mindenható fogalom nem szerepel a keresztény tanok között: Isten korlátozta magát, például amikor szabad akaratot ajándékozott nekünk, hogy a felelősség által igazi jelentőséget adhasson az embernek. A tények alapján úgy hisszük, a világot és benne az embert ésszerűen és ésszerűnek teremtette, és ezzel a logikailag lehetetlen dolgok elkövetésében is korlátozta magát. A mindenható fogalomnak talán nincs is ezért létjogosultsága a világunkban.

C. „Ne ijedj meg tőlük, különben én ijesztelek meg általuk.”– hangzott a bátorítás Jeremiásnak az ijedtségre vonatkozó önhivatkozással, amikor elhívta őt Isten, hogy legyen vezető és próféta, látomásban közölve a veszélyt. A füstölgő fazék észak felől a rájuk északról törő veszedelemről adott hírt. (Jeremiás könyve 1:17) Önhivatkozó mondattal biztatja Isten a választottját, amiből az egyetlen leszűrhető ésszerű tanulság, hogy szilárdan kell állni, nem tanácsos „tőlük” (sem az északiaktól, sem Júda királyától) megijedni. Ha megijedt tőlük, ki a megmondhatója, hogy ő ijedt-e meg tőlük, vagy az Isten ijesztette meg általuk. Ésszerű tehát nem megijedni…

D. Szabad akarat és eleve elrendelés kérdése. Az embernek akkor van szabad akarata, ha Isten akaratát cselekszi. A szabad akarat jelentse itt a döntés szabadságát. Kissé leegyszerűsítve: az ember akkor lesz szabad, ha szabadságát feladja Isten mellett; így e paradoxon oka a szabadságra vonatkozó önhivatkozás. Ez a felismerés abból az állításból meríti igazságát, hogy döntéseinkre számtalan külső és belső tényező hat, nem vagyunk szabadok a társadalmi és környezeti hatásoktól, de saját korábbi gondolatainktól, megrögzöttségeinktől sem. Csak a saját gondolati rendszerünkön belül tudunk gondolkodni. Mit jelenthet itt, hogy „Ha tehát a Fiú megszabadít titeket, akkor valóban szabadok lesztek.”(Jn.8:36). Isten teljes szuverenitását és az emberi felelősséget, szabadságot egy- időben kell elfogadnunk. A szuverén Isten döntött, hogy szabad kezet ad nekünk a vele való megbékélést illetően és nem kényszeríti ránk magát, mondhatunk nemet. Ugyanakkor a szuverén Isten döntött, hogy Jézus az út, az igazság és az élet, még a kiskapukat kereső, önmaga igazságát hangoztató embernek is. 

Felbukkant ez az önhivatkozó gondolat (azaz hogy az embernek akkor van szabad akarata, ha Isten akaratát cselekszi, ) az 5. század elején a pelagiánus vitában, mely Augustinus és Pelagius körül dúlt. A vita egyik szála arról szólt, hogy mi módon szorulunk rá a kegyelemre. Augustinus szerint az ember szabad, hiszen a dolgokat nem valamiféle kényszerből tesszük, hanem szabadon. Ám az ember szabad akarata a bűn által meggyengült és alkalmatlanná vált, de nem szűnt meg. Amint a jó és rossz cselekedeteket mérő kétserpenyős mérleg rossz tányérjára nehéz súlyokat raknak, az ember szabad akarata a rossz felé hajlik. Annak érdekében, hogy a szabad akarat helyreálljon, az isteni kegyelemnek a beavatkozása szükséges. Így Krisztus, mint szabadító lesz Úr is egyben, s Augustinus következtetése: az igazi szabadság Krisztus szolgálata. Jelen van a „Tégy foglyoddá Uram, s szabad leszek” paradoxon korunk protestáns hitgyakorlatában is. (Egy énekből idézet.)

E. Számos egyéb paradoxon is színesíti nemcsak a mindennapi életünket (lásd [2]), de a keresztény teológiát is. Kedvencem: “… Krisztusért örömöm telik erőtlenségekben, bántalmazásokban, nyomorúságokban, üldöztetésekben és szorongattatásokban, mert amikor erőtlen vagyok, akkor vagyok erős.” (2 Kor.12:10) (Ez egy látszólagos ellentmondás, a paradoxon jelentése itt a “meghökkentő állítás”. Hiszen ennek van általunk is könnyen megérthető megoldása. “Tudok szűkölködni, és tudok bővölködni is, egészen be vagyok avatva mindenbe, jóllakásba és éhezésbe, bővölködésbe és nélkülözésbe egyaránt. Mindenre van erőm Krisztusban, aki megerősít engem.” (Fil 4:12-13) Viszont van olyan paradoxona a keresztény hitnek, ami keményebb dió: a szűztől születés; megigazulás kegyelemből hit által; Isten egy, de három személy; Krisztus teljesen emberi és isteni volta.) (Egyéb keresztény paradoxonokért lásd [3]. ) Ezek egyike sem jelenti a keresztény hit következetlenségét vagy hamisságát. Sőt, inkább harmóniában állnak azzal az alapelvel, miszerint a keresztényeknek nem ehhez a világhoz kell mérniük magukat, hiszen nem ez az állandó otthonuk. Az igazi Krisztus-követő radikálisan más, mint amire mai világunk Isten nélkül képes. Természetes, hogy a keresztény hit a kortárs kultúrával sok tekintetben szembemegy. A meghökkentő alapelvek tehát inkább valódiságát bizonyítják.

Források:

1. McGrath, Alister E.: Bevezetés a Keresztény Teológiába (Budapest: Osiris Kiadó, 1995), 327-330. o.
2. Hofstadter, David: Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid (Basic Books, 1983)
3. Huoranszki, Ferenc: Modern Metafizika (Budapest: Osiris Kiadó, 2001) 283-311. o.
4. Gödel, Kurt: On Formally Undecidable Propositions (New York: Basic Books, 1962)
5. Gödel, Kurt: „Über Formal Unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme,I” (Monatshefte für Mathematik und Physic, 38, 1931) 173-198. o.
6. https://en.wikipedia.org/wiki/Pinocchio_paradox
7. Jaki, Stanley, A Late Awakening to Gödel in Physics, http://pirate.shu.edu/~jakistan/JakiGodel.pdf
8. Hawking, Stephen, Gödel and the End of Physics, http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/

Megjegyzések:

[1] További példák önhivatkozásra:

1. Kétlépéses önhivatkozás a középkorból a következő: SZÓKRATÉSZ: Amit Platón mondani készül, hamis. PLATÓN: Szókratész igazat szólt. Ezen mondatok külön-külön megállják a helyüket, de ahogy egymásra mutatnak, paradoxont fedezünk fel. Az Epimenidész-paradoxon kétlépéses változata: A következő mondat hamis. Az előző mondat igaz.
2. Fogadás-paradoxon: Arra fogadok, hogy ezt a fogadást el fogom veszíteni!
3. Krokodil-dilemma: Egy krokodil elrabol egy gyereket, és megígéri apjának, hogy akkor és csak akkor engedi el, ha az apa helyesen jósolja meg, hogy a krokodil elengedi-e a gyereket vagy sem. Viszont nehéz dilemmája akad, ha az apa azt jósolja, hogy nem engedi el. Ugyanis ekkor ha megtartja a gyereket, akkor az apa helyesen jósolt, amivel vissza kellene adnia a gyereket. A másik esetben, ha visszaengedi a csöppséget, akkor az apa helytelenül jósolt, tehát a gyereket meg kell tartania. Ha az apa azt jósolja, hogy nem engedi el, akkor logikailag eldönthetetlen helyzetbe kerül a krokodil. Szerencsére erre egy apa nem lenne képes.
4. A bírósági paradoxon: Egy joghallgató arra szerződik tanárával, hogy pontosan az első megnyert pere után fizet neki a taníttatásért. (A hallgató viszont felhagy a jogi pályával.) A tanára ekkor bepereli a tandíj összegével. Gondolják meg, hogy a tanár akár nyer, akár veszít, mindenképpen nyer. Ebben is van önhivatkozás: ha elveszíti a pert, akkor is megnyeri.
5. Egy dolgot tudok: hogy semmit sem tudok. (Szokratész, Platon tolmácsolásában.)
6. Hasonló fejtörést okoz a melléknevek körében a Grelling-paradoxon, melyhez akkor jutunk, ha a mellékneveket két csoportra osztjuk: azokra, amelyek “önleírók”, mint pl. a „négyszótagú”, vagy a „rövid”, „fennkölt”, és azokra, amelyek nem önleírók: pl. „meleg”, „hiányos”, „kétszótagú”. Most tekintsük a következő melléknevet: „nem-önleíró”, és nézzük meg, hogy melyik osztályba tartozik? Ha nem-önleíró, akkor önleíró, így ellentmondáshoz jutottunk, ha pedig önleíró, akkor nem-önleíró, így ismét ellentmondásba ütközve paradoxont kaptunk eredményül.
7. Hasonló a halmazelméletben a Russel-paradoxon. A legtöbb halmaz nem tartalmazza önmagát. Például az előadások halmaza nem előadás, a könyveket tartalmazó halmaz nem könyv, a rózsák halmaza nem rózsa. Az előbbi halmazok ilyen értelemben szokásosak. Viszont van olyan halmaz, mely elemként önmagát is tartalmazza, pl. az összes halmaz halmaza, vagy a rózsák kivételével az összes dolgok halmaza. Ezeket hívjuk önfelfaló halmazoknak. Azt gondolnánk, hogy minden halmaz vagy szokásos, vagy önfelfaló, és egyetlen halmaz sem lehet egyszerre mindkettő. Most tekintsük a következő halmazt: az összes szokásos halmaz halmaza. Ez a halmaz sem nem szokásos, sem nem önfelfaló, mert ha szokásos lenne, akkor eleme lenne önmagának, tehát önfelfaló. Az ellentétes feltétel ugyanígy ellentmondáshoz vezet.

[2] Jegyezzük meg, hogy az önhivatkozáson múló paradoxonok csoportja csak egyike a paradoxonok népes családjának. Paradoxonok egy bővebb listája angolul: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes

[3]  További keresztény paradoxonok:

• “Aki megtalálja életét, az elveszti azt, aki pedig elveszti életét énértem, az megtalálja azt.” (Mt 10:39)
• “Adjatok, és adatik nektek: jó, megnyomott, megrázott, megtetézett mértékkel adnak öletekbe. Mert amilyen mértékkel ti mértek, olyan mértékkel mérnek viszonzásul nektek.” (Lk 6:38)
• “Mert aki felmagasztalja magát, megaláztatik, és aki megalázza magát, felmagasztaltatik.” (Mt.23:12)
• “Aki tehát megalázza magát, és olyan lesz, mint ez a kisgyermek, az a nagyobb a mennyek országában.” (Mt 18:4)
• Meghalás által élünk: “Krisztussal együtt keresztre vagyok feszítve: többé tehát nem én élek, hanem Krisztus él bennem; azt az életet pedig, amelyet most testben élek, az Isten Fiában való hitben élem, aki szeretett engem, és önmagát adta értem.”(Gal 2:20)